ABAQUS軟年在多體動力學仿真計算中的應用
一、ABAQUS 及多體動力學仿真計算介紹
ABAQUS軟件是一套功能強大的模擬工程的有限元軟件，其解決問題的范圍從相對簡單的線性分析到許多復雜的非線性問題。作為通用的模擬計算工具，ABAQUS能解決結構（應力/位移）的許多問題。它可以模擬各種領域的問題，例如熱傳導、質量擴散、電子部件的熱控制（熱電耦合分析）、聲學分析、巖土力學分析（流體滲透/應力耦合分析）及壓電介質力學分析[1]。多體系統(tǒng)由“多體動力學”引申而來，一般泛指包括機械構造、結構材料和控制（軟、硬）元件的整體系統(tǒng)。多體系統(tǒng)仿真則是以電腦輔助的方法對多體系統(tǒng)進行數字化模擬的技術。多體系統(tǒng)仿真所面臨的挑戰(zhàn)大致可分為 5 類：大型模型的運算、滑動和碰撞接觸、運動中的柔性體、控制-機構集成，以及系統(tǒng)的設計與優(yōu)化。由于 ABAQUS 側重于結構有限元計算，故其本身多體仿真功能遠不如專業(yè)多體動力學軟件強大。但經過多年的發(fā)展，ABAQUS軟件與多體動力學仿真軟件的接口越來越完善。作為聯(lián)合多體動力學軟件做剛柔耦合多體仿真的有限元軟件，ABAQUS軟件在該領域得到越來越廣泛的應用。
二、剛柔耦合多體動力學介紹
多體系統(tǒng)可以由剛體和柔性體（也說成是彈性體）組成，通過和全局參考框架之間的鉸接和力元等元素混合建模。論文中使用ABAQUS和SIMPACK軟件進行剛柔混合體的動力學建模和仿真[2]。多體仿真主要目的有兩點，一是在設計階段評定系統(tǒng)的動力學指標是否達到要求；二是考察系統(tǒng)內部各部件之間的載荷工況和運動狀態(tài)。利用 ABAQUS 建立的部件柔性體模型代入SIMPACK 中進行剛柔耦合多體仿真計算，不但能提供更準確的模型用于多體仿真計算，而且多體仿真結果之一的部件工況也能更準確的描述有限元模型的邊界條件和力載荷，使有限元計算結果更合理、可信度更高。在多體軟件中無法直接使用有限元分析結果，須要對模型進行縮減處理。目前典型的有靜態(tài)縮減、GUYAN 縮減、RITZ 函數縮減、動態(tài)縮減（子模態(tài)合成技術）。在 ABAQUS軟件中，主要利用 GUYAN 縮減方法進行彈性體結構縮減。結構模型縮減的效果如何及其準確度很大程度上依賴于對結構主自由度的合理選擇。使用這種方法可以使得結構的質量矩陣和剛度矩陣在結構的固有頻率和振型計算時縮減到每個主自由度上，使參與多體計算的柔性性模型自由度大幅度減少，大大提高聯(lián)合計算效率。
2.1 ABAQUS 子結構算法
ABAQUS 子結構的所有自由度可以分為內部和外部自由度，外部自由度附著在多體系統(tǒng)的鉸接、彈簧和阻尼上。這些自由度對多體仿真是十分重要的，作為主自由度不能在縮減過程中刪除，而剩余的其它自由度稱為內部自由度是可以進行縮減的。內部自由度既可以表示為和外部自由度之間的靜態(tài)關系，也可以表示為一系列廣義自由度之間的動態(tài)關系。這些廣義的自由度通過研究子結構的特征模態(tài)獲得。特征模態(tài)主要根據研究對象的重點進行有效的選擇。
子結構的動力學方程可以表示為：
其中 X 是位移矢量，M 是質量矩陣，C 是阻尼矩陣，K 是剛度矩陣以及 F 是載荷矢量。各個矩陣通過下標 i（表示內部）和 e（表示外部）自由度，以及自由度之間關系等。如果只考慮靜態(tài)，式（1）可以簡化為剛度、位移和載荷的方程，通過求解，可以獲得
前者表示內部位移和載荷的關系，后者表示外在位移函數的內部位移。矩陣 B 表述內部位移和外在位移的關系。研究中主要關心結構振動模態(tài)相應的內部自由度。設定外在位移為零，以及內部位移的運動為簡單諧運動，即
其中Φ是特征矢量，通過對時間求微分，方程（2）可以改寫為
其中ω是角頻率。通過設定輸入載荷 Fii=0，且忽略阻尼矩陣，可以求出正則模態(tài)。（4）可以簡化為：
內部位移可以通過相應自由度的特征模態(tài)表示。設子結構中 n 為 p 個外在自由度的激活自由度，縮減系統(tǒng)的位移可以表示為外在自由度和廣義自由度 y，即
（7）式中的特征矢量矩陣有維數 s(n-p)縮減系統(tǒng)的位移可以表示為外在自由度和新的廣義自由度 y 之間的公式 將
（8）式以及其一階和二階時間微分，分別代入（1）式中，且在前面乘上 HT，可以得到
從上述的一系列公式，可以說明 ABAQUS 子結構縮減暨 GUYAN 縮減算法的基本過程，即用一些縮減的節(jié)點和單元來準確的描述整體結構。這些節(jié)點和單元分別稱為超節(jié)點（Super Node）和超單元（Super Element）。如果希望得到一個更為合理的節(jié)點分布，目前的 ABAQUS 版只能手工添加自己關心的節(jié)點。
2.2 ABAQUS與SIMPACK接口簡介
利用 SIMPACK 和 ABAQUS 之間的接口程序可以生成多體仿真時所需要的柔性體模型文件。首先導入利用有限元軟件 ABAQUS 子結構分析生成的結果文件，然后再在多體軟件的接口程序中創(chuàng)建*.fbi 柔性體文件。這樣就可以在 SIMPACK 軟件中將多體系統(tǒng)剛性模型替換為柔性結構模型。在替換過程中同時要將原來與結構連接的 Marker 點用柔性體的 Marker 點全部替換過啦，這樣就可以進行剛柔耦合多體仿真計算。圖 1 表示了有限元分析軟件 ABAQUS 和多體系統(tǒng)軟件 SIMPACK之間的彈性體數據傳輸的基本流程。注：FEMBS 是 SIMPACK 柔性體前處理內部程序。
圖1ABAQUS 聯(lián)合多體軟件生成柔性體的基本過程
三、剛柔耦合系統(tǒng)仿真示例
本文以三體耦合物理擺系統(tǒng)為對象（后簡稱三擺系統(tǒng)），比較多剛體系統(tǒng)建模和剛柔耦合系統(tǒng)建模兩者間仿真結果的差異，驗證剛柔耦合系統(tǒng)仿真技術的必要性。三擺系統(tǒng)如圖 2 所示，系統(tǒng)包括三個相同的質量體，質量體 3 與線彈簧連接，研究各部分的載荷工況與運動狀態(tài)。質量體包括橡膠材質的桿和金屬材質的球兩部分組成。本文建立兩種動力學模型，一種是全為剛體組成，如圖 3 所示；另一種是質量體 2 為柔性體，質量體 1 和 3 為剛體，聯(lián)合組成剛柔耦合多體系統(tǒng)模型，如圖 4 所示。
圖2三擺系統(tǒng)模型（帶線彈簧） 圖3三擺系統(tǒng)多剛體系統(tǒng)模型
圖4剛柔耦合三擺系統(tǒng)圖 圖5質量體有限元模型
質量體的有限元模型如圖 5 所示，共計 19088 個實體單元，共計 114528 個自由度。以動力學計算目的而言，如此規(guī)模網格模型直接代入 SIMPACK 對求解器是一種負擔，同時目前軟件版本也無法實現，因此需要將整體有限元模型縮減，這個過程稱為有限元單元模型縮減，原理部分如本文 2.1 節(jié)所述，而在 ABAQUS 中是用子結構創(chuàng)建來描述整個縮減過程。通過單元縮減，該模型的子結構就為 5 個節(jié)點組成，共 15 個自由度，如圖 6 所示。另外在 ABAQUS軟件中，通過運動耦合算法使整個有限元模型振動模態(tài)用這 5 個節(jié)點描述即可，從而生成只有 15 個自由度的子結構用于多體動力學仿真計算。該子結構在 ABAQUS 老版本中也稱為超單元。圖 7 為加入柔性質量體2 后的示意。
圖6質量體有限元縮減模型 圖7將柔性質量體2加入三擺系統(tǒng)示意
四、柔性仿真結果和剛體仿真結果比較
圖8三擺系統(tǒng)運動狀態(tài)比較（左多剛體，右剛柔耦合）
初始運動狀態(tài)相同，圖8為多剛體系統(tǒng)和剛柔耦合系統(tǒng)同一時刻的運動狀態(tài)，可以看出兩者間有明顯差異。圖9～圖11為多剛體和剛柔耦合的三擺系統(tǒng)的部分仿真結果，包括：質量體2的垂向鉸接力、質量體2相對質量體 1 的角位移、線彈簧載荷三方面。
4.1 鉸接力
圖9為質量體2的鉸接力時間0～5s的時間歷程。表1為兩種多仿真結果的統(tǒng)計對比。多剛體系統(tǒng)的鉸接力無論從均值還是幅值上都明顯大于剛柔耦合系統(tǒng)，而剛柔耦合系統(tǒng)鉸接力的頻率成份更為復雜。
圖9質量體2鉸接力歷程
表1仿真結果統(tǒng)計對比（質量體2）
4.2 相對位移
圖10為質量體2相對質量體1質心相對角位移0～5s 的時間歷程。表2為兩種多仿真結果的統(tǒng)計對比。多剛體系統(tǒng)的相對位移無論從均值還是幅值上都明顯大于剛柔耦合系統(tǒng)。
圖10質量體2相對質量體1角位移歷程
表 2 仿真結果統(tǒng)計對比（相對角位移）
4.3 線彈簧載荷
圖11為三擺系統(tǒng)線彈簧載荷0～5s的時間歷程。表3為兩種多仿真結果的統(tǒng)計對比。多剛體系統(tǒng)的線彈簧載荷無論從均值還是幅值上都大于剛柔耦合系統(tǒng)。同時也可見，不同模擬方法之下的力載荷間的差異要比鉸接力和相對位移要輕微。
圖11三擺系統(tǒng)線彈簧載荷歷程
表3仿真結果統(tǒng)計對比
綜上所述，多剛體仿真結果無論載荷工況還是運動狀態(tài)都要比剛柔耦合的劇烈。這里簡單從能量角度說明其結果的差異：系統(tǒng)的機械能總是恒定的（忽略熱損耗），為勢能和動能之和，且相互動態(tài)轉化。多剛體系統(tǒng)勢能只有位能，而剛柔耦合系統(tǒng)的勢能除了位能外，還有柔性體的變形能。因此在同一時刻，柔性體獲得的動能要小于多剛體。因此柔性體的運動狀態(tài)就不如剛體劇烈，其慣性力作用也就不如剛性體明顯。故當系統(tǒng)中某個部件的結構剛度較小時，就應該考慮利用柔性體取代常規(guī)剛體模擬該部件。這樣能大大減小計算誤差，同時其計算結果如動態(tài)評定指標、載荷工況及運動狀態(tài)等都更接近實際，精度更高。
結 論
隨著計算機仿真技術的發(fā)展，ABAQUS軟件應用范圍不斷擴大。在多體動力學仿真計算中，加入ABAQUS 柔性體，使模型更接近真實；而同時通過剛柔耦合多體動力學仿真分析，能夠得到部件上更準確、更充分的載荷條件，為結構有限元仿真分析又提供更合理的邊界條件與載荷工況，對提高有限元分析精度也大有益處。
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